Chiffres significatifs,
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1. |
Chiffres significatifs |
La notion de chiffres significatifs est très importante pour assurer que la précision des valeurs que l'on désire communiquer se reflète dans la façon dont on ces valeurs sont écrites. |
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Définition |
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Dans un nombre, les chiffres significatifs
sont tous ceux dont la valeur est connue avec certitude,
plus au maximum un dont la valeur n'est connue que de
façon approximative (généralement
à une ou deux unités près). Ce sont les
chiffres qui sont directement reliés à la
précision avec laquelle on connaît le
nombre. |
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En vertu de cette définition, les chiffres suivants, qui ne servent qu'à indiquer l'ordre de grandeur (centièmes, dixièmes, milliers, millions, etc.), ne sont pas significatifs : |
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- |
les zéros situés au début d'un nombre fractionnaire (par exemple les deux zéros de 0,0123); |
- |
les zéros qui apparaissent à la
fin d'un nombre entier (par exemple, les trois zéros
de 123 000), s'ils n'ont rien à voir avec la
précision du nombre, |
Par exemple, supposons qu'on a mesuré un terrain avec un galon précis au cm et trouvé que sa longueur est 12,3 m. Ce nombre possède trois chiffres significatifs, car on ne connaît précisément la valeur de le seconde décimale (les mm). Si l'on exprime cette valeur en mm ou en km, le nombre de chiffres significatifs doit rester le même, car la précision avec laquelle on connaît le nombre ne peut changer du seul fait d'un changement d'unités. Ainsi, les nombres exprimant cette valeur avec trois unités différentes, soit : |
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12,3 m |
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possèdent tous trois chiffres significatifs. Mais attention : pris isolément, le dernier nombre (12 300) pourrait aussi bien avoir l'air de comporter 5 chiffres significatifs, il pourrait, par exemple, être le résultat d'une mesure effectuée avec une règle précise au mm. Dans le cas des nombres entiers se terminant par un ou des zéros, c'est le contexte qui indique si ces zéros sont significatifs ou non. Le recours à la notation scientifique est une façon d'éviter toute ambiguïté. La valeur exprimée en mm, par exemple, s'écrirait alors : |
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12,3 × 104 mm |
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ce qui indiquerait clairement que le nombre ne contient que trois chiffres significatifs. Finalement, on peut définir des nombres exacts, qui correspondent à des comptages, comme 4 personnes ou 14 aller et retour, ou qui interviennent dans des expressions mathématiques, comme le nombre 2 dans la relation entre le diamètre et le rayon d'un cercle, d = 2r, ou comme 2,54 dans la relation de conversion 2,54 cm = 1 pouce. Ces nombres comportent une infinité de chiffres significatifs. |
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2. |
Écriture des nombres |
Compte tenu de la définition qui précède, la règle à appliquer pour exprimer de façon claire la précision d'un nombre est toute simple : |
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Règle n° 1 |
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Lorsque l'on communique un nombre (dans un
tableau ou une réponse), on écrit tous les
chiffres significatifs, et rien que ceux-là. |
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C'est une simple question de clarté
d'expression... et d'honnêteté : il faut
que les personnes à qui on transmet une valeur aient
une idée juste de sa précision. Il peut
même arriver, si l'on ne respecte pas cette
règle, qu'on se leurre soi-même quant à
la signification d'un résultat que l'on a obtenu. |
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Exemple |
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En supposant que la règle n° 1 a été respectée, déterminez combien de chiffres significatifs possèdent les nombres suivants : |
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a) 5 tours |
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b) 5 cm |
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c) 5,0 cm |
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d) 2,3407 kg |
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e) 2,3400 kg |
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f) 0,0020 m |
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g) 123 000 km |
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h) 1,230 × 105 km |
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a) |
Une infinité (dénombrement) |
b) |
1 |
c) |
2 (le zéro est significatif, sinon on ne le mettrait pas, car il n'est pas nécessaire pour indiquer l'ordre de grandeur du nombre) |
d) |
5 |
e) |
5 (même raison qu'en c) |
f) |
2 (les zéros du début ne servent qu'à indiquer l'ordre de grandeur, mais celui de la fin, s'il est affiché, c'est qu'il indique la précision du nombre) |
g) |
Entre 3 et 6 (il faudrait connaître le contexte pour trancher) |
h) |
4 (même raison qu'en c) |
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3. |
Arrondissement des nombres |
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L'arrondissement des nombres obéit à des règles élémentaires, qui semblent pourtant négligées, car on se contente souvent de laisser tomber les décimales superflues. Or, cela peut, dans certains cas, fausser de façon importante les résultats des calculs. Supposons que l'on désire arrondir à 3 chiffres significatifs les nombres suivants : |
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123 492,53; 12,999; 24 251; 24 250; 0,3245; 0,3235 |
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La meilleure technique consiste à
considérer en bloc l'ensemble des chiffres qu'il faut
éliminer. On peut (du moins mentalement) placer les
chiffres superflus entre crochets La règle est la
suivante : |
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Règle n° 2 |
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Pour arrondir un nombre, on élimine les chiffres superflus, puis, si le nombre formé par ces chiffres était : |
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- |
supérieur à 5, 50, 500, etc., on ajoute une unité au dernier chiffre conservé; |
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- |
égal à 5, 50, 500, etc., on ajoute une unité au dernier chiffre conservé, s'il est impair. |
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- |
inférieur à 5, 50, 500, etc.,
on ne change pas le dernier chiffre conservé. |
Prenez le temps de bien relire cette règle, et examinez son application aux nombres présentés plus haut : |
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nombre |
arrondissement |
résultat |
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123 492,53 |
123 [492,53] |
123 000 |
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12,999 |
12,9[99] |
13,0 |
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24 251 |
24 2[51] |
24 300 (ou 2,43 × 104) |
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24 250 |
24 2[50] |
24 200 (ou 2,42 × 104) |
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0,3245 |
0,324[5] |
0,324 |
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0,3235 |
0,323[5] |
0,324 |
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