C6 - Les diagrammes |
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Sommaire |
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1. |
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2. |
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3. |
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4. |
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5. |
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1. |
Introduction |
Les diagrammes servent à présenter des données ou des résultats quand toutes les variables indépendantes sont qualitatives. Ils peuvent aussi être employés s'il y a une ou des VI quantitatives discrètes possédant un nombre limité de valeurs. Il existe plusieurs types de diagrammes. Le principal est le diagramme à barres. D'autres types sont soit peu recommandables, car plus difficiles à lire avec précision (par exemple les diagrammes en « pointes de tarte »), soit peu utilisés (par exemple, les diagrammes à points, qui sont pourtant un compromis intéressant entre les diagrammes et les graphiques). Comme leur nom l'indique, les diagrammes à barres sont formés... de barres, verticales (figure 1) ou horizontales (figure 2). Chaque barre est associée à une valeur de la variable indépendante (qualitative ou quantitative discrète); la longueur de la barre représente la valeur de la variable dépendante (quantitative et, en général, continue). Aucune des deux versions n'est vraiment préférable du point de vue de la facilité de lecture, mais les diagrammes à barres horizontales présentent l'avantage de fournir plus d'espace pour afficher les valeurs des variables qualitatives. Cela permet d'inscrire des mots plus longs, donc plus signifiants, qui facilitent grandement la lecture. Ainsi, dans la figure 1, le lecteur doit consulter le texte pour savoir ce que signifient les lettres représentant les diverses méthodes, dont les noms sont beaucoup trop long pour être affiché sous l'axe. La présence des lignes de fond (quadrillage) est très importante pour éviter les effets d'illusion d'optique dus à la juxtaposition de barres de longueurs différentes. Notons également que les barres ont été ordonnées selon leur longueur, plutôt que d'après l'ordre alphabétique des lettres des méthodes, et que les deux barres vers lesquelles on désire attirer l'attention ont été colorées différemment. Soulignons finalement que l'utilisation de diagrammes en perspective est à déconseiller. |
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Figure 1. Taille des plants de
quatre mois pour diverses méthodes de
fertilisation. [Exemple de diagramme à barres
verticales à 1 VI et 1 VD] |
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Figure 2. Taille des plants de quatre mois pour diverses méthodes de fertilisation; mêmes données qu'à la figure 1. [Exemple de diagramme à barres horizontales] |
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2. |
Les diagrammes à trois variables |
On traite différemment les diagrammes à une et à deux variables dépendantes (donc, avec respectivement deux et une seule variable indépendante). Avec deux variables dépendantes, on place simplement côte-à-côte deux diagrammes, un pour chaque VD. Ainsi, la figure 3 montre un diagramme à barres à 1 VI et 2 VD qui présente, pour cinq variétés de plants (la VI), les différences de croissance selon deux mesures (les VD) : la taille des plants et la masse des feuilles. Remarquez qu'on a employé une teinte différente pour la moyenne, pour bien la distinguer des valeurs individuelles. |
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Figure 3. Taille et masse des feuilles de 5 variétés de plants de quatre mois. [Exemple de diagramme à barres à 1 VI et 2 VD]
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Figure 4. Taille de 5 variétés de plants de 4 mois pour les méthodes de fertilisation décrites dans Chester (1996a) et Paquin (2001), avec modifications. [Exemple de diagramme à barres à 2 VI et 1 VD, avec 2 tons de gris] |
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La figure 5 montre les mêmes données qu'à la figure 4, mais disposées de manière à favoriser la comparaison entre les variétés. Il faut souligner ici que, selon la qualité de l'imprimante ou du photocopieur, il peut être difficile de distinguer plus de 3 ou 4 tons de gris. On peut aussi employer des trames (voir cette version de la figure 5); soulignons cependant que cette option a disparu dans la version 2007 de Excel, pour réapparaître dans la plus récente. En général, des diagrammes comprenant plus de 3 ou 4 valeurs de VI associées à des teintes, comme celui de la figure 5, devraient être réservés à une présentation ou une diffusion en couleurs; il vaut mieux alors employer des couleurs au lieu des tons de gris, comme dans cette version en couleurs de la figure 5. |
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Figure 5. Taille de 5 variétés de plants de 4 mois pour deux méthodes de fertilisation (même données qu'à la figure 4, sans l'incertitude). [Exemple de diagramme à barres à 2 VI et 1 VD, avec 6 tons de gris] |
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Faites vous-même l'exercice, en comparant la figure ci-dessus et la version où les séries sont regroupées autrement de manière à limiter le nombre de tons de gris (figure 4, dans une nouvelle fenêtre), en vous demandant laquelle est la plus facile à interpréter, ou encore laquelle des deux permet de mieux démontrer que la méthode Paquin 2001 modifiée est supérieure à la méthode Chester 1996a. |
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3. |
Les diagrammes à trois variables indépendantes (VI) |
Pour représenter trois variables indépendants, on juxtapose verticalement des diagrammes à barres horizontales à deux VI, comportant des échelles identiques. Ainsi, pour représenter des séries de mesures comme celles de la figure 5, mais répétées à chaque année, on placera l'un au-dessus de l'autre des diagrammes associés à chaque année (figure 6). On constate facilement qu'avec l'augmentation du nombre de séries, la présentation graphique des données perd un peu de son intérêt. Dans ce cas, on pourrait penser qu'il serait amplement suffisant de fournir le diagramme de la moyenne des trois années d'expérimentation. |
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Figure 6. Taille de 5 variétés de plants de quatre mois pour 2 méthodes de fertilisation et 3 années d'expérimentation. [Exemple de diagramme à barres à 3 VI et 1 VD, réparti dans quatre fenêtres] |
Finalement, une remarque sur le fait que contrairement à une pratique très répandue, aucun des digrammes présentés ici n'affiche les valeurs numériques au bout des barres. De l'avis des auteurs qui ont étudié l'efficacité des dispositifs de présentation, avis que je partage, ces informations sont très peu utiles, car le but d'un diagramme est de fournir visuellement une idée d'ensemble des valeurs et de permettre des comparaisons entre certaines d'entre elles. L'ajout des valeurs vient brouiller le portrait, en obligeant le lecteur à se demander s'il porte son attention sur les longueurs des barres ou sur les valeurs, ou les deux. À mon avis, les seules situations où cela pourrait être indiqué seraient : |
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quand les valeurs obtenues sont très précises et que l'atteinte de cette précision est un des points forts de la recherche; |
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quand une des valeurs (par exemple la plus grande) doit être comparée à une valeur standard ou limite, dont elle peut devenir très proche; on pourrait dans ce cas afficher seulement ces deux valeurs numériques, tout en laissant les autres barres sans valeurs. |
La figure 7 illustre une telle situation, au moyen du même diagramme qu'à la figure 2, en supposant cette fois que l'incertitude est très faible; en effet, selon ce qu'on peut déduire du nombre de chiffres significatifs affichés, les rectangles d'incertitude seraient trop petits (de l'ordre de 0,001 m) pour être visibles. Figure 7. Taille des plants de quatre mois pour diverses méthodes de fertilisation; mêmes données qu'à la figure 1. |
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4. |
Les histogrammes |
Un histogramme est un type particulier de diagramme à barres. Il est utilisé dans les cas où l'on a mesuré ou déterminé la valeur d'une variable (VD ou VI) continue pour chaque élément d'un groupe et que l'on désire représenter la distribution des valeurs de cette variable, c'est-à-dire de quelle façon se répartissent l'ensemble des valeurs. Pour ce faire, on divise l'éventail des valeurs de la variable en un petit nombre (généralement inférieur à 10) d'intervalles contigus, placés sur un axe horizontal. On transforme ainsi la variable originale, continue, en une variable discrète possédant moins de dix valeurs, correspondant à chaque intervalle. Cette variable joue le rôle d'une VI aux fins du diagramme. À chacune de ces valeurs, donc à chaque intervalle, on associe une barre de largeur égale à l'intervalle et dont l'aire représente le nombre d'objets pour lesquels la valeur mesurée fait partie de l'intervalle (figure 8). La plupart du temps, on choisit des intervalles égaux; la hauteur des rectangles est alors proportionnelle au nombre d'objets associés à chaque intervalle. Le nombre d'objets joue alors le rôle d'une VD. Le nombre total d'objets est indiqué dans le diagramme et (ou) dans la légende. Lorsque c'est possible, il est préférable de choisir une combinaison de valeur minimale de la VD et d'intervalle qui place la moyenne près du centre d'un des intervalles; cela facilite l'interprétation des caractéristiques de la distribution. Figure 8. Distribution de la taille de plants de quatre mois de la variété A (N = 250; moyenne = 52,6 cm; écart-type = 5,1 cm). [Exemple d'histogramme] Ce genre de diagramme permet de visualiser rapidement certaines caractéristiques de la distribution que ne révèlent pas toujours clairement la simple donnée de la moyenne et de l'écart-type : intervalle(s) de valeurs comprenant la majorité des objets; manière dont les valeurs se concentrent autour de cet intervalle; symétrie de part et d'autre de celui-ci. L'histogramme de la figure 8, qui compte 7 intervalles, représente une distribution de la taille des plants dont la moyenne est 52,6 cm et l'écart-type 5,1 cm. On observe que les tailles des plants se situent entre 35 et 70 cm, mais se concentrent en majorité entre 50 et 55 cm, intervalle qui compte à lui seul plus du tiers des valeurs. Les autres valeurs sont distribuées de part et d'autre de ce groupe central de manière assez symétrique. La figure 9 présente une seconde distribution, dont la moyenne et l'écart-type sont les mêmes qu'à la figure 8, mais qui présente une allure assez différente. Les tailles se situent maintenant entre 28 et 84 cm, mais sont beaucoup plus concentrées autour de la moyenne, l'intervalle 52 à 60 cm comptant plus de 60 % des valeurs. Figure 9. Distribution de la taille de plants de quatre mois de la variété B (N = 250; moyenne = 52,6 cm; écart-type = 5,1 cm). [Exemple d'histogramme illustrant une distribution très concentrée autour de la moyenne] Finalement, l'histogramme de la figure 10 présente une troisième distribution, avec toujours les mêmes moyenne et écart-type. Les tailles, qui varient entre 38 et 62 cm, se répartissent plus largement autour de la moyenne, et de manière asymétrique, de sorte que l'intervalle qui contient le plus de valeurs (environ 29 % du total) n'inclut pas la moyenne. Cette distribution asymétrique se caractérise par une queue à gauche de la moyenne, qui étend l'éventail des valeurs beaucoup plus loin de celle-ci du côté des petites valeurs. Figure 10. Distribution de la taille de plants de quatre mois de la variété C (N = 250; moyenne = 52,6 cm; écart-type = 5,1 cm). [Exemple d'histogramme illustrant une distribution asymétrique] Pour terminer, précisons que tous les diagrammes de ce texte ont été réalisés à l'aide d'Excel (ce sont des copies d'écran). Je rends disponible, aux fins des activités et travaux notés, un fichier Excel qui comprend des gabarits pour tous ces types de dispositifs graphiques, avec des consignes pour leur utilisation. On y retrouve entre autres un système interactif de génération d'histogramme. Il est à noter que, dans Excel, on désigne sous le nom d'histogramme 2D tout diagramme à barres verticales. |
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5. |
Les diagrammes à boîte |
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Tout comme l'histogramme, le diagramme à boîte (appelé aussi diagramme à boîte et moustaches, ou encore diagramme de Tukey, du nom de son inventeur) illustre la distribution des valeurs d'une variable. Il fournit une image moins détaillée que l'histogramme, mais permet une meilleure comparaison entre deux distributions (ou plus). Différentes versions du diagramme à boîte ont été proposées : avec ou sans moustaches, avec divers critères pour établir la longueur de celles-ci; avec affichage ou non des valeurs individuelles très éloignées de la moyenne (appelées valeurs aberrantes). La figure 11 illustre celle qui a été retenue pour ce cours. En cliquant dans la figure, une version interactive de celle-ci s'ouvrira dans une nouvelle fenêtre et vous permettra d'obtenir des explications sur les diverses caractéristiques de ce diagramme, fondées sur les notions de moyenne, de médiane (soit le nombre, noté Q2, tel que la moitié des valeurs lui son inférieures et l'autre moitié, supérieures) et de quartiles (les trois nombres, notés Q1, Q2 et Q3, tels que le quart, la moitié et les trois-quarts lui sont inférieurs). Les fonctions calculant ces nombres sont disponibles dans Excel, soit MEDIANE(XX:YY) et QUARTILE(XX:YY;n), où XX:YY désigne la série de valeurs et n vaut 1, 2 ou 3 selon qu'on désire obtenir Q1, Q2 ou Q3. Les fonctions QUARTILE(XX:YY;2) et MEDIANE(XX:YY) fournissent donc le même résultat. Figure 11. Points individuels (a) et diagramme à boîte (b) représentant les valeurs mesurées, affichées dans l'encadré à gauche de l'axe. Cliquez dans la figure ou sur le lien suivant pour ouvrir dans une nouvelle fenêtre une version interactive de la figure décrivant les caractéristiques du diagramme. La boîte proprement dite est associée aux valeurs comprises dans les deux quartiles centraux, soit entre Q1 et Q3; elle comprend donc la moitié des points. Sa hauteur est égale à l'interquartile Q, qui vaut Q3 - Q1. La ligne à l'intérieur de la boîte indique la médiane (ou Q2) et le carré, la moyenne. Les lignes verticales partant des deux extrémités de la boîte, appelées moustaches (whiskers en anglais), indiquent les zones où se retrouvent les valeurs non aberrantes du premier ou du dernier quartile, c'est-à-dire situées à moins de 1,5 Q de la boîte. Dans la version retenue pour ce cours, elles s'arrêtent au dernier point quand celui-ci se trouve à moins de 1,5 Q de la boîte; c'est le cas de la moustache du bas dans la figure 11, qui est par conséquent plus courte que celle du haut. Dans le fichier Excel de gabarits, une option vous permet de choisir entre cette option et celle d'une longueur fixe de 1,5 Q. Cette valeur de 1,5 Q a été fixée de manière arbitraire. Quand la distribution des valeurs est normale, au sens statistique du terme (courbe en forme de cloche), cela signifie que les valeurs aberrantes compteront en moyenne pour un peu moins de 1 % du total. Avec cet outil, nous pouvons comparer de manière plus détaillée deux résultats présentés à la figure 4, soit la taille des plants de variété Mohawk selon deux méthodes de fertilisation. Ainsi, la figure 12, qui combine deux diagrammes à boîte, permet de conclure que si la méthode Paquin 2001 modifiée produit de meilleurs résultats (ce que révélait déjà la figure 4), environ le quart des plants traités avec cette méthode (valeurs situées sous la boîte) ne sont pas vraiment plus grands. Un des plants traités avec cette méthode est même le plus petit de l'ensemble. On remarque également que la méthode Chester 1996a fournit une distribution très « pointue », c'est-à-dire concentrée autour de la médiane (ou de la moyenne), avec plusieurs valeurs aberrantes, alors que l'autre méthode produit une distribution plus étendue. Figure 12. Taille des plants pour deux méthodes de fertilisation. [Exemple de dispositif regroupant deux diagrammes à boîte] Note. Toutes les figures de cette page sont des copies d'écran de diagrammes réalisés avec Excel, y compris les diagrammes à boîtes, qui ne sont pas inclus dans les options offertes par ce logiciel. Je rends disponible, aux fins des activités et travaux notés, un fichier Excel qui comprend des gabarits pour tous les types de dispositifs graphiques, accompagnés de consignes d'utilisation. |
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