MAT 1000 - Guide d'étude

ACTIVITÉS AVEC LES LOGICIELS

Sommaire

Chapitre 1 - Les nombres

Chapitre 2 - Les exposants et les logarithmes

Chapitre 3 - Le système de coordonnées cartésiennes

Chapitre 4 - Les équations linéaires

Chapitre 5 - L’équation du second degré

Chapitre 6 - La droite

Chapitre 7 - La trigonométrie

Chapitre 8 - Matrices et déterminants

Chapitres 11 et 12 - La dérivée et l’intégrale

CHAPITRE 1 - Les nombres

Lorsque vous aurez lu les sections 1.2, 1.8, 2.1 et 2.2 du manuel, lisez les sections A à C du Guide du logiciel Xcas.

Exercice 1

a) Dans Xcas en ligne, cliquez sur l’icône , ce qui affiche le tutoriel Facilimaths dans un autre onglet ou une nouvelle fenêtre, selon les options choisies dans votre fureteur.

Dans le menu de gauche, choisissez Collège – Parenthèses.

Si vous cliquez sur une des expressions dans le cadre de gauche, une consigne apparaît dans le cadre principal, suivie d’un champ éditable sur fond bleu contenant l’expression en écriture calculatrice, mais sans parenthèses. Vous devez ajouter les parenthèses aux bons endroits de manière à respecter la consigne.

Lorsque vous cliquez sur Tester, l’expression est calculée par Xcas selon les règles de priorité. Un visage souriant signale une bonne réponse, et une bombe... vous vous en doutez!

Lorsque vous avez une bonne réponse, l’expression que vous aviez choisie disparaît du cadre de gauche.

Vous pouvez employer les flèches pour faire défiler les expressions (et leurs consignes) dans le cadre principal, et continuer tant qu’il reste des expressions disponibles.

b) Revenez à l’accueil de Facilimaths en cliquant sur l’icône (en haut à gauche dans la console).

Dans le menu de gauche, choisir Collège – Priorités opératoires.

Vous devez évaluer les expressions en plusieurs étapes, en respectant les priorités, soit : parenthèses/numérateurs/dénominateurs => exposants => multiplication/division => addition/soustraction.

Attention! Il arrive que l’on puisse effectuer en même temps deux opérations d’ordre de priorité différent, quand elles ne s’appliquent pas aux mêmes termes de l’expression. Par exemple, dans :

5 + 2*4^2 - 2 * 3

l’étape suivante serait :

5 + 2*16 - 6

où l’on a appliqué en même temps la priorité de ^ sur * dans le deuxième terme (2*4^2) et celle de * sur + et – dans le dernier (- 2 * 3).

c) Cliquez sur l’icône pour revenir à la console.

Essayez de saisir correctement, en écriture calculatrice, les expressions suivantes.

	i.	ii.	iii.
a)	$3 x + \frac{1}{5}$	$\frac{3 x + 1}{5}$	$\frac{3 x^{2} + 1}{5}$
b)	$\frac{x}{y z}$	$\frac{x}{y + z}$	$\frac{x y + z}{y + z}$
c)	$\frac{a + 1}{a - 1}$	$a + \frac{1}{a - 1}$	$a + \frac{1}{a} - 1$
d)	$\sqrt{a b - c^{2}}$	$\sqrt{a b} - c^{2}$	${(\sqrt{a b} - c)}^{2}$
e)	$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$	$2 x^{2} + \frac{3}{y - 2 x} = 5$	$\frac{2 a}{b c} + \sqrt{a b - 4 c^{2}}$

[ Corrigé ]

CHAPITRE 2 - Les exposants et les logarithmes

Après avoir lu les sections 2.5 et 2.5 du manuel, lisez la section D du Guide du logiciel Xcas. Si Xcas sait bien factoriser (bien qu’il faille jouer un peu avec les opérations normal et simplifier), il ne peut diviser des polynômes.

Cependant pour cette dernière opération, Xcas peut vous faciliter la vie en calculant les valeurs des polynômes pour les diverses racines potentielles. Mais il vous faut d’abord consulter la section F du Guide du logiciel Xcas, où l’on explique comment définir une fonction.

CHAPITRE 3 - Le système de coordonnées cartésiennes

Lisez les sections A à D du Guide du logiciel Graph. Avec ce logiciel très convivial, que vous devrez installer sur votre ordinateur, vous pourrez tracer les graphiques mentionnés aux sections 3.3 à 3.5 du manuel. De plus, en ayant recours à son outil d’analyse (section E du guide) vous pourrez facilement déterminer les valeurs approchées des caractéristiques des courbes comme leurs intersections avec les axes, leurs minima et maxima locaux, etc.

CHAPITRE 4 - Les équations linéaires

Après avoir lu le chapitre, lisez la section G1 du Guide du logiciel Xcas. Vous pouvez déterminer avec Xcas la solution de la plupart des équations (ou systèmes d’équations) linéaires, même celles qui doivent être transformées pour adopter la forme standard ax + by = c (comme dans le problème résolu 2c, p. 154).

CHAPITRE 5 - L’équation du second degré

Après avoir lu le chapitre, lisez la section G2 du Guide du logiciel Xcas. Le logiciel résout sans difficulté les équations du second degré, ici aussi même si elles ne sont pas sous la forme standard.

De plus, vous pouvez employer le logiciel Graph pour tracer les courbes (paraboles) de ces équations, et ainsi facilement visualiser la nature de leurs racines (intersection avec l’abscisse) : réelles (distinctes ou doubles), ou non réelles.

CHAPITRE 6 - La droite

Vous pouvez employer le logiciel Graph pour tracer les droites passant par deux points et déterminer leur équation.

Après avoir lu la section 6.5 du manuel, Systèmes d’inéquations linéaires à deux inconnues (p. 214), lisez la section F du Guide du logiciel Graph. Portez attention au fait que la façon d’hachurer les zones du plan cartésien dans le logiciel est le contraire de celle qu’emploie le manuel. Dans celui-ci, ces zones désignent les valeurs qui ne satisfont pas l’inéquation, alors que dans Graph est désignent celles qui la satisfont. Comme suggéré dans le Guide du logiciel, pour faciliter l’identification de la zone solution, vous pouvez inverser les signes d’inégalité.

Par ailleurs, pour déterminer l’inclinaison des droites, vous pouvez employer Xcas. pour calculer la fonction tangente inverse. Cette fonction, qui peut être notée de diverses façons (arctg, arctan, atn, atg, tan⁻¹, etc.) s’écrit atan() dans Xcas. De plus, pour obtenir la valeur en degrés, vous devrez sans doute au préalable cliquer sur le bouton Radians (bouton jaune au bas de l’écran) pour qu’il affiche plutôt Degrés.

CHAPITRE 7 - La trigonométrie

Vous pouvez employer le logiciel Graph pour tracer les graphiques des fonctions trigonométriques (section 7.5 du manuel, p. 265).

Note. L’élévation d’une fonction trigonométrique à une puissance est notée en mathématiques d’une manière particulière. Par exemple, le sinus élevé au carré est noté :

$\sin^{2} x$

En écriture calculatrice, dans Xcas comme dans Graph, cette expression requiert deux paires de parenthèses :

(sin(x))^2

soit une autour de l’argument x de la fonction et l’autre, autour de sin(x), pour indiquer que c’est toute la fonction (et non uniquement x) qui est élevée au carré.

CHAPITRE 8 - Matrices et déterminants

Après avoir lu ce chapitre du manuel, lisez la section H du Guide du logiciel Xcas. Le logiciel peut effectuer toutes les opérations mentionnées dans le chapitre, excepté la détermination de la matrice adjointe (section 8.5, p. 311).

CHAPITRES 11 ET 12 - La dérivée et l’intégrale

Après avoir lu ces deux chapitres du manuel, lisez la section I du Guide du logiciel Xcas. Le logiciel détermine facilement la dérivée et l’intégrale (définie ou indéfinie) des fonctions du type de celles qui figurent dans le manuel.

Vous pouvez aussi utiliser l’outil d’analyse outil d’analyse du logiciel Graph (section E du guide), qui permet de trouver, pour toute fonction afficher, les valeurs approximatives des dérivées première et deuxième de la fonction sélectionnée, pour explorer les maxima, minima et points d’inflexion des fonctions.

De plus, Graph comprend une fonction dérivée (section I du guide) qui calcule algébriquement l’expression de la dérivée d’une fonction (à la manière de Xcas) et en trace le graphique.

Finalement, vous pouvez aussi explorer deux autres outils du logiciel, non décrits dans le guide : le tracé d’une tangente en un point d’une courbe (icône ), qui fournit aussi l’équation de la tangente, et le calcul de l’aire sous la courbe entre deux valeurs de x (icône ).

Corrigé de l’exercice 1c.

	i.	ii.	iii.
a)	3*x+1/5	(3*x+1)/5	(3*x^2+1)/5
b)	x/y/z ou x/(y*z)	x/(y+z)	(x*y+z)/(y+z)
c)	(a+1)/(a-1)	a+1/(a-1)	a+1/a-1
d)	sqrt(a*b-c^2)	sqrt(a*b)-c^2	(sqrt(a*b)-c)^2
e)	(a/b)/(c/d)	2x^2+3/(y-2x)=5	2a/(bc) + sqrt(ab-4c^2)

[ Retour à l’exercice 1c ]

Dernière mise à jour : 19 janvier 2013.

Le Guide d’étude du cours MAT 1000 Outils mathématiques de la Téluq,
de Marc Couture, est mis à disposition selon les termes de la
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