Feuille de route

Licence Creative Commons

Le contenu de ce site est diffusé sous licence Creative Commons Paternité-
Pas d'utilisation commerciale Canada

B7 - Précision, justesse, incertitude et erreurs systématiques sur les mesures

Sommaire

1.

Introduction

2.

Bonne définition et stabilité des caractéristiques d'un objet

3.

Précision du processus de mesure (résolution et fidélité)

4.

Exactitude de la mesure

5.

L'erreur systématique

6.

L'incertitude expérimentale

  

[ sommaire ]

[ suivant ]

1.

Introduction

La plupart des recherches en sciences, et même dans les autres domaines, font intervenir la détermination de caractéristiques mesurables (appelées aussi grandeurs) des objets soumis à l'étude. Mais à quel point peut-on mesurer la véritable valeur d'une caractéristique? La notion de « vraie » valeur a-t-elle même un sens?

La réponse à ces questions fait intervenir deux dimensions distinctes :

-

les caractéristiques d'un objet ne sont jamais parfaitement définies ni complètement stables; toute impression contraire peut être démentie par le recours à des méthodes ou des instruments de mesure suffisamment sophistiqués;

-

les processus de mesure possèdent des capacités limitées de cerner les caractéristiques qu'il doivent mesurer; ces processus comprennent l'appareil de mesure et ses conditions d'utilisation.

Ces deux dimensions conduisent à des interprétations différentes des valeurs fournies par une mesure. Il n'existe pas de façon générale de déterminer la part de chacune dans une situation donnée; cependant, dans bien des cas, une des deux domine suffisamment pour qu'on puisse ne considérer que celle-ci.

Note. On retrouve dans les documents disponibles en ligne un grand flou terminologique touchant les concepts de précision, d'exactitude, de justesse et de fidélité. Pour les trois derniers, nous avons retenu les définitions du Vocabulaire international de métrologie – Concepts fondamentaux et généraux et termes associés (VIM); le concept de précision n'y est pas défini. Soulignons aussi que selon ce même document de référence, l'expression anglaise « measurement precision » se traduit par « fidélité (de mesure) » et non par « précision », ce qui est aussi susceptible de créer une certaine confusion.

  

[ sommaire ]

[ précédent ]

[ suivant ]

2.

Bonne définition et stabilité des caractéristiques d'un objet

Certaines caractéristiques possèdent une valeur très bien définie, par exemple la masse d'une plaque de métal. Une balance de bonne qualité nous fournira cette valeur.

On pourrait croire qu'il en va de même de son épaisseur; un appareil de mesure de qualité nous apprendra qu'elle vaut, disons, 20,00 mm. Mais la mesure de l'épaisseur de la plaque en quelques endroits (par exemple aux quatre coins et au centre) pourrait révéler que cette épaisseur varie légèrement sur la surface de la plaque, par exemple entre 19,87 et 20,12 mm.

D'autres exemples :

-

la même plaque, placée à l'extérieur en hiver, qui verra ses dimensions diminuer légèrement à cause du phénomène de dilatation/contraction du métal avec la température;

-

le poids d'une personne, qui fluctue au cours d'une journée (d'où la suggestion de se peser à chaque jour au même moment, sur une période de quelques semaines, si l'on veut savoir si l'on prend réellement du poids).

Seules les mesures de type dénombrement (compter des choses), et là encore si les conditions sont idéales (objets facilement distinguables, pas trop mobiles) échappent à cette limitation. Si vous comptez sept objets, cette « mesure » vaut exactement 7.

Sauf dans ce derniers cas, une mesure se traduit donc par une série (ou éventail) de valeurs. Ces valeurs forment une distribution, c'est-à-dire qu'elles se répartissent selon certaines proportions tout le long de l'éventail, en étant généralement concentrées autour d'une valeur centrale. Par convention, on peut considérer cette valeur centrale comme la « vraie » valeur de la caractéristique. La figure 1 illustre trois exemples de mesures qui fournissent des éventails plus ou moins grands de valeurs pour une même caractéristique, par exemple l'épaisseur de plaques de métal plus ou moins régulières.

Figure 1. Représentation de la distribution des valeurs d'une caractéristique plus ou moins bien définie ou stable. La valeur centrale (ligne jaune) est considérée comme la « vraie » valeur.

La description détaillée de cette distribution de valeurs ne peut se faire qu'à l'aide d'un dispositif graphique, tel un histogramme ou un diagramme à boîtes (voir texte C6). Néanmoins, on peut en fournir une description simplifiée à l'aide d'un nombre restreint de valeurs; par exemple, on peut indiquer, au moyen de ses valeurs minimale et maximale, l'intervalle qui comprend toutes les valeurs possibles, ou encore une grande partie d'entre elles.

Ainsi, on pourrait écrire que la longueur d'un objet varie (ou se situe) entre 2,6 cm et 2,8 cm, par exemple dans le temps, ou selon l'emplacement précis où l'on prend la mesure, ou encore selon des facteurs externes comme la température ou la pression atmosphérique.

  

[ sommaire ]

[ précédent ]

[ suivant ]

3.

Précision du processus de mesure (résolution et fidélité)

Tout processus de mesure est caractérisé par sa précision, définie ici comme la plus petite variation de la valeur d'une caractéristique, supposée stable et bien définie, qui peut être détectée de manière reproductible par ce processus. Cette précision dépend :

-

de l'appareil de mesure : sa qualité, sa sophistication, son état;

-

des conditions de son utilisation, ce qui comprend la compétence, l'habileté et le degré d'attention de la personne qui l'emploie.

La part de la précision liée à l'appareil de mesure combine deux facteurs :

-

la résolution de l'appareil, qui est la plus petite différence de valeur observable sur son affichage;

-

sa fidélité, soit sa capacité de fournir la même valeur, ou des valeurs très voisines, lors de mesures individuelles successives de la même caractéristique, effectuées sous les mêmes conditions.

Notons que la précision, telle que définie ici, n'est pas liée à la capacité du processus de mesure de fournir une valeur identique ou proche de la vraie valeur; cette capacité est la justesse, que nous examinons plus loin.

La figure 2 représente une série de mesures individuelles (rectangles n°1, n°2, n°3, etc.) d'une même caractéristique. La largeur des rectangles représente la résolution de l'appareil; les points (sur l'axe et au centre des rectangles) sont les valeurs affichées. La figure illustre aussi la moyenne des valeurs affichées. La variation des valeurs successives traduit le degré de fidélité de l'appareil.

Figure 2. Représentation de mesures individuelles successives et résolution de l'appareil de mesure.

La figure 3 illustre trois mesures (en fait, des séries de mesures individuelles) d'une même caractéristique effectuées avec trois appareils de résolution identique mais de fidélité différente. En a), l'appareil a une faible fidélité : 12 mesures individuelles fournissent une large gamme de valeurs (positions horizontales des points). En c), l'appareil a une fidélité intermédiaire : les mesures individuelles s'écartent beaucoup moins les unes des autres qu'en b), si l'on ne tient pas compte de la mesure n° 2. Une telle valeur, qui survient de manière exceptionnelle, est appelée valeur aberrante (outlier en anglais), et est en général exclue de l'analyse. Finalement, en c), toutes les mesures donnent le même résultat : l'appareil est d'une excellente fidélité.

Figure 3. Comparaison de la fidélité de trois processus de mesure, avec des appareils de même résolution. En a), la fidélité est plus faible qu'en b), où l'on ne considère pas la valeur n° 2, aberrante. En c), la fidélité est excellente (ou parfaite). Les lignes pointillées sont les moyennes des valeurs affichées.

Pour un appareil simple comme une règle, c'est la résolution qui détermine uniquement la précision; dans ce cas, ou peut dire que la fidélité est parfaite, car si celui qui effectue la mesure utilise la même technique et demeure attentif, les mesures individuelles successives sur un même objet (stable et bien défini) donneront toujours le même résultat.

Pour d'autres types de mesure, c'est plutôt la fidélité qui détermine la précision. Par exemple, mon pèse-personne électronique affiche les 1/10 kg, ce qui correspond à une résolution de 0,1 kg. Mais si je me pèse plusieurs fois de suite, j'obtiens les trois valeurs suivantes : 71,6; 71,7 et 71,8 kg. Dans ce cas, même si l'appareil affiche une résolution de 0,1 kg, sa fidélité limitée ramène sa précision à 0,3 kg. En effet, puisque les valeurs 71,5 et 71,9 ne semblent jamais apparaître, on peut conclure que mon poids se situe probablement entre 71,55 et 71,85 kg.

La précision d'un appareil de mesure est parfois indiquée dans le mode d'emploi de celui-ci; cette précision est celle qui peut être atteinte dans des conditions idéales par un utilisateur expérimenté et attentif. Mais la précision doit souvent, comme dans le cas de la règle, être estimée de manière plus ou moins subjective.

  

[ sommaire ]

[ précédent ]

[ suivant ]

4.

Exactitude de la mesure

L'exactitude d'une mesure est la correspondance entre la vraie valeur et la valeur mesurée lors de l'application d'une procédure de mesure donnée. La mesure peut être unique, comme avec une règle. Elle peut aussi être répétée; elle fournit alors un éventail de valeurs, la valeur mesurée étant prise comme la moyenne des mesures individuelles.

Il faut distinguer les deux situations suivantes :

-

la caractéristique mesurée est bien définie, mais la précision du processus de mesure laisse à désirer;

-

le contraire : soit une caractéristique mal définie mais un processus de mesure précis.

a)

Caractéristique bien définie / processus de mesure peu précis

La figure 4 illustre les deux premières mesures de la figure 3 (a et b), mais en incluant la valeur réelle de la caractéristique (ligne jaune), dont l'éventail des valeurs (zone grise) est plus petit que la résolution de l'appareil (rectangles bleus).

Si l'on considère dans chaque cas une seule mesure, par exemple la mesure n°1, on peut dire que cette mesure est beaucoup moins exacte en a) qu'en b). Cependant, la notion d'exactitude ne présente pas ici d'intérêt; autrement dit, si le processus a une fidélité limitée, il ne faut surtout pas se fier à une seule mesure.

Si l'on tient compte de l'ensemble des mesures individuelles, on constate que la valeur obtenue (moyenne des mesures individuelles) est plus exacte en a) qu'en b), malgré une fidélité plus faible en a).

Figure 4. Mêmes mesures qu'à la figure 3 (a et b), mais avec représentation de la vraie valeur (ligne jaune). On constate que la mesure en a) est plus exacte que la mesure en b), car la valeur moyenne (ligne pointillée bleue) s'approche davantage de la vraie valeur.

De son côté, la justesse est l'exactitude associée à un très grand nombre (théoriquement infini) de mesures individuelles. Pour chacune des deux mesures illustrées à la figure 4, il se pourrait bien que l'ajout d'un grand nombre de mesures individuelles supplémentaires en a) et en b) modifie, dans un sens ou dans l'autre, la correspondance entre la valeur mesurée et la vraie valeur.

En ce sens, alors que l'exactitude est associée à une application particulière d'un processus de mesure, par exemple comprenant un nombre limité de mesures, la justesse (tout comme la précision) est une propriété du processus de mesure lui-même.

b)

Caractéristique mal définie / processus de mesure précis

Dans ce cas, on obtient encore un éventail de valeurs, mais qui ne provient pas principalement cette fois du processus de mesure. La figure 5 présente deux mesures d'une même caractéristique mal définie, effectuées à l'aide d'un appareil de bonne résolution et d'excellente fidélité (des mesures individuelles répétées d'une caractéristique bien définie donneraient toujours la même valeur, comme dans la figure 3c).

On constate qu'un petit nombre de mesures individuelles risque de ne révéler qu'une partie de l'éventail des valeurs de la caractéristique, et de fournir une valeur moyenne erronée (figure 5a), donc une mesure peu exacte. Pour mieux connaître l'éventail des valeurs, tout en améliorant l'exactitude, il faut augmenter le nombre de mesures individuelles (figure 5b). Cependant, au-delà d'un certain nombre, qui dépend de manière complexe des valeurs respectives de la résolution, de la fidélité et de la distribution des valeurs, l'ajout de mesures individuelles supplémentaires n'apporte plus d'amélioration significative.

Figure 5. Effet du nombre de mesures individuelles distinctes sur l'exactitude de la mesure d'une caractéristique mal définie ou instable (zone grise). Avec quatre mesures individuelles (a), l'éventail des valeurs est sous-estimé, et la moyenne est moins proche de la vraie valeur (ou valeur centrale : ligne jaune) qu'avec 12 mesures (b).

Pour reprendre l'exemple de la plaque de métal, supposons que l'on a mesuré son épaisseur en dix endroits avec un appareil très précis, obtenant des valeurs variant entre 1,977 et 2,038 cm, avec une moyenne de 2,012 cm. On continue les mesures, jusqu'à 100, et on obtient des valeurs comprises entre 1,976 et 2,040, pour une moyenne de 2,014 cm. Mais si on continue encore, jusqu'à 1 000 mesures, il est fort possible que ces valeurs demeurent à peu près inchangées.

  

[ sommaire ]

[ précédent ]

[ suivant ]

5.

L'erreur systématique

Quelle que soit sa précision, un appareil peut être défectueux, ou mal étalonné, ou encore être mal utilisé. Par exemple, la longueur de l'échelle d'une règle peut différer de celle d'une règle étalon; cela se produit, par exemple, avec les règles de plastique, qui peuvent se contracter avec le temps. Ou encore, la personne qui l'emploie peut aussi le faire incorrectement, par exemple en alignant le bord de la règle, et non le zéro de l'échelle, avec le bord de la plaque.

La même chose peut se produire avec un appareil à affichage numérique, qui peut ne pas indiquer zéro pour une mesure de valeur nulle, ou encore afficher des valeurs multipliées, par rapport aux « vraies » valeurs, par une constante ou une fonction dont la valeur demeure proche de l'unité.

Il peut aussi arriver qu'un changement apporté à un montage en cours d'expérimentation vienne modifier un paramètre influençant les mesures.

Dans tous ces cas, il se produit une déviation par rapport à la valeur qui serait normalement mesurée; cette déviation, appelée erreur systématique, affecte la justesse de la mesure, c'est-à-dire que la même déviation se produira à toutes les répétitions d'une même mesure, et se répercutera directement dans la valeur de la moyenne.

Les erreurs systématiques sont souvent difficiles à détecter a priori, mais le caractère systématique de la déviation fait en sorte qu'elles peuvent, dans les cas les plus simples, être déduites a posteriori à partir d'un examen de l'ensemble des mesures. Il est alors possible de rectifier les valeurs mesurées, complètement ou partiellement, en leur apportant une correction compensant pour l'erreur systématique. Dans d'autres situations, un réexamen du montage permet parfois de trouver la source de l'erreur et d'évaluer directement la correction à effectuer.

Par exemple, pour une règle, si l'erreur systématique provient du fait que la personne qui a fait la mesure a employé le bord de la règle au lieu du début des graduations, il est facile de la corriger. Il suffit de mesurer à quelle distance du bord de la règle commencent les graduations ou encore, si la règle n'est plus disponible, de comparer une des mesures effectuée avec cette règle la même mesure effectuée correctement; il n'y plus alors qu'à ajouter la même quantité de toutes les mesures ainsi effectuées.

Reprenant l'exemple évoqué plus haut, soit une plaque de métal épaisse (en moyenne) de 5,924 cm. Un expérimentateur sérieux utilisant correctement sa règle obtiendrait 5,9 cm; son collègue qui n'alignerait pas la règle sur le zéro des graduations pourrait obtenir plutôt 5,7 cm, mesure de même précision que la précédente (égale à la résolution de la règle) mais moins juste. Si ce collègue a effectué de nombreuses mesures à différents emplacements sur la plaque, et qu'il n'a pas changé pas sa façon d'aligner la règle au cours de ses mesures, il ne serait pas nécessaire de les reprendre; il suffirait de corriger toutes les valeurs qu'il a obtenues en leur ajoutant 0,2 cm.

Autre exemple, si vous vous pesez à tous les matins en pantoufles et robe de chambre, la mesure de votre poids sera entachée d'une erreur systématique, que vous pourriez corriger en soustrayant le poids de ces vêtements.

Un exemple célèbre d'erreur systématique qui a pu être ainsi corrigée concerne le télescope spatial Hubble. Un des miroirs du télescope avait été mal placé à cause d'une erreur systématique de mesure dont la valeur a pu être établie a posteriori, à partir de l'examen de certaines parties du montage ayant servi à la fabrication de l'instrument. Cette erreur, détectée dès que le télescope a fourni ses premières images, a pu être corrigée par l'ajout d'une lentille de correction lors d'une mission de maintenance qui a eu lieu deux ans après son lancement.

  

[ sommaire ]

[ précédent ]

6.

L'incertitude expérimentale

L'incertitude expérimentale est la grandeur de la variation aléatoire, imprévisible ou indéterminée, de la valeur mesurée d'une caractéristique d'un objet. Comme on l'a vu plus haut, dans bien des cas cette variation est associée de manière dominante à l'une ou l'autre des dimensions suivantes :

-

la précision (résolution et/ou fidélité) limitée du processus de mesure (on parle alors d'incertitude de mesure);

-

l'instabilité, l'irrégularité ou la mauvaise définition de l'objet (incertitude définitionnelle).

Mais comment, dans une situation donnée, déterminer si une des dimensions domine et, le cas échéant, laquelle?

Lorsque l'application d'un processus de mesure ne fournit qu'une seule valeur, on peut conclure que la dimension dominante est la précision du processus, limitée par la résolution de l'appareil.

Mais si l'on obtient des valeurs différentes lors de mesures successives, il n'existe pas de méthode permettant de déterminer si l'une des deux dimenstions domine, et encore moins laquelle.

Heureusement, dans bien des cas, notre connaissance préalable de l'objet ou du phénomène mesuré et(ou) du processus de mesure, de même que notre expérience générale de ce type de mesure, permettent de tirer des conclusions plausibles à cet égard.

Par exemple, si l'on pèse un bloc de métal à plusieurs reprises, il est clair que toute variation significative dans la valeur obtenue provient du processus de mesure. C'est la situation illustrée (dans une nouvelle fenêtre) à la figure 4. Précisions que cette conclusion est valide si la résolution de l'appareil ne permet pas de détecter la différence infime de poids due, par exemple, aux empreintes digitales, si on a manipulé le bloc entre les mesures, ou à la poussière qui a pu s'y déposer.

Par contre, si on mesure un courant avec un multimètre que l'on a déjà employé et dont l'affichage est habituellement stable, des valeurs qui fluctuent de manière substantielle amèneront à conclure que c'est le courant lui-même qui varie. C'est la situation illustrée à la figure 5.

On exprime une valeur mesurée affectée d'une incertitude sous la forme suivante :

valeur ± incertitude

Dans les deux exemples décrits plus haut (longueur entre 2,6 et 2,8 cm et poids entre 71,55 et 71,85 kg), on écrirait :

longueur = 2,7 ± 0,1 cm

poids = 71,7 ± 0,15 kg

Il n'est pas toujours nécessaire d'indiquer explicitement l'incertitude. Cependant, on doit toujours le faire implicitement, au moyen du nombre de chiffres significatifs que l'on affiche. Ainsi, telle que mesurée avec une règle ordinaire, l'épaisseur de la plaque de métal décrite plus haut, dont l'épaisseur varie entre 1,977 et 2,038 cm, pourrait s'écrire 2,0 cm, 20 mm ou 0,020 m (notez la façon d'écrire ces trois variantes, toujours avec deux chiffres significatifs). De même, écrire que la longueur vaut 2,7 cm suggère qu'on ne connaît pas la valeur de la seconde décimale; sinon, on écrirait 2,70 cm, pour signifier qu'on sait que la longueur n'est pas 2,72 ou 2,67 cm.

Pour des explications et des consignes sur les chiffres significatifs et l'arrondissement des nombres, consultez le document suivant (dans une nouvelle fenêtre).

Quelle que soit sa source, l'incertitude ne peut jamais être éliminée de l'expérimentation et, contrairement à l'erreur systématique, elle ne peut être corrigée. Tout ce qu'on peut espérer est la réduire, mais surtout à bien l'évaluer, afin qu'elle se reflète correctement dans les résultats et qu'elle soit prise en compte dans leur interprétation.

  

[ début ]